結合則は作用みたいなものが頭にあると自然な性質に思えるのだが、一歩ひいてみたときに「なんでこんな性質が大分野 (群論) をなすほど重要なんだ?」という気分になることがある。
ある二項演算のみが与えられたとする。独立二変数一演算の範囲で二項演算の性質として一般に要請できるのは交換則だけである。独立三変数二演算まで考えるといろいろな性質が考えられるが、交換則が成り立っている場合には結合則が唯一の追加の性質になる。
この流れからすると、「交換則を満たさず結合則を満たす二項演算」が特殊な系に思えてくる。一方で自然科学で多用されるような数学に親しんでいると、交換則より結合則の方が基本的な規則だという印象が強い。んん?
ちなみに可換有限群の分類や表現論はずっと簡単で、例外みたいなやつはないらしい。