3 次元の回転はクォータニオンでうまく表せて、実際に CG やロボティクスでよく使われている。ただ、クォータニオンが複素数の拡張だからといって、複素数で 2 次元の回転を表す方法の自然な拡張になっているかというと一見そうは見えないし、より高次元空間の回転に対して自然に拡張できるわけでもない (たぶん)。
Geometric product という演算を導入すると、 bivector という微分形式の 2-form みたいなものが出てきて、これでうまく回転を表せる。結果として 2 次元で複素数と同じ代数を含み、 3 次元でクォータニオンと同じ代数を含む。直交基底を導入してしまっていいなら、対応の確認は難しくない。任意の次元に適用可能、らしい。
で、これ自体はクリフォード代数になっていて、ええと…。
幾何学的代数の要旨
スピン幾何入門その１ クリフォード代数とスピン群
んんんんんんんんんんん。