su(2) リー代数の生成子の二次元表現はパウリ行列で表せる。この行列はリー代数の生成子が一般に満たす以上の性質をいくつか持っている。単位行列を加えると積について閉じているので、たとえば指数関数を展開できて、リー群そのものをパウリ行列と単位行列の線形結合で表せたりする。この展開係数は自乗和が 1 であり、 SU(2) の元と規格化された 4 次元実ベクトルが 1:1 対応するというきれいな性質がある (これ自体はリー代数とか持ち出さなくても初等的に導出できるが)。
これは su(2) 基本表現に固有の性質だと思っていたが、考えてみるとゲルマン行列も二乗したら対角行列にはなるし、 exp の展開自体は可能そうである。きれいな形になるんだろうか。ちょっとだけ考えたあとカンニングする。
linear algebra - Exponentiation of Gell-Mann Matrices - Mathematics Stack Exchange
[1508.00868v2] Elementary results for the fundamental representation of SU(3)
最近の Stack Exchange 先生は、私が抱く程度の疑問を高確率で網羅していて素晴らしすぎる。
これは su(2) → su(3) 基本表現という方向の話だが、 su(2) の高次元表現についての話もあった。
[1402.3541] A Compact Formula for Rotations as Spin Matrix Polynomials