謎だった漸近展開をちょっとだけ理解した。無限級数としては発散していてもよくて、その場合でも最初の何項かを足せば良い近似が得られたりする。足しすぎると近似は逆に悪化していく。なんじゃそりゃ? と思っていたが、その疑問はとりあえず解決した。
f(x) の x0 近傍での漸近展開は、ざっくり「和をとる項数 N を有限に固定し x → x0 すると f(x) の振る舞いに収束する級数」といえると思う。 N を増やすと x → x0 での振る舞いは f(x) により近づくが、 x を固定して見たときに値が f(x) に近づく保証はない。一般には N が大きくなるほど x0 に近くないと値は改善しない。