202009002 の定理の構成的な証明をみた感じ、私の素朴な疑問の答えになる構成法ではないようにみえる。工学的応用が効くような構成法だったら、もっと使われているはずなので当たり前ではある。とはいえ私が触れたことのある閉じた形の式は、おそらく全て自然な形で単変数関数 + 加法に分解できるのだよな。プリミティブな 2 変数実関数は四則演算とべき乗くらいしかなくて、これらは明らかに分解可能である。
a ^ b = exp(a × log(b))
= exp(exp(log(a) + log(log(b))))
まあこれは話が逆で、いくつかの単変数関数と四則演算の合成で書けるものを「解析的に書ける」という定義のあいまいな単語で呼んでいるだけではある。偏微分方程式が解けて積分形で表せるが、単パラメーターの積分の合成に分解できないことはたぶん普通にある。そもそも、複数パラメーターを持つ積分で表される量なんていくらでもあるか。
でもやっぱり理工学で頻出する 2 変数関数がもう一つくらいあってもいい気がする。いや、初等関数も重複を除けば数は少ないか。うーん。