201911700 のやつ、 i^2 = j^2 = -1, ij = ji を満たす独立な数 i, j を導入してまともな代数系ができるのか気になったのでちょっと考えていた。平方根とかはとりあえず考えない。
ab = 0 ⇔ a = 0 or b = 0 が成立していると、
i^2 - j^2 = 0
⇔ (i + j)(i - j) = 0
⇔ i = j or i = -j
なので i と独立に j を導入できない。これを捨てるためには、零元以外にも乗法に対する逆元が存在しない元の存在を認める (文章が分かりにくい…) 必要がある。つまり体ではなくなる。まあ当然。
そのうえで i, j の線形独立性を定義として追加する。複素数では
x + iy = 0
⇒ (x + iy)(x - iy) = 0
⇒ x^2 + y^2 = 0
⇒ x = y = 0
で 1, i の線形独立性が証明できるけれど、 i, j の線形独立性の追加だけで 1, i, j, ij の線形独立性が言えるか? あとから考える。<追記>言えた。</追記>
ただしそのような実行列表現は具体的に作れる。例えば
i =
[ 0, 1, 0, 0]
[-1, 0, 0, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
[ 0, 0, -1, 0]
j =
[ 0, 0, 1, 0]
[ 0, 0, 0, 1]
[-1, 0, 0, 0]
[ 0, -1, 0, 0]
ij = ji =
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, -1, 0]
[0, -1, 0, 0]
[1, 0, 0, 0]
作った方法は書くのが面倒になってきたので略。なのでまあ、まともな系が存在するのは間違いない。ちょっと意外。
乗法に対する逆元は複素数と同じように有理化して定義できる。ただし前述のように 0 以外にも逆元を持たない元が存在する。
複素共役とノルムはどうしたものか。ユークリッドノルムがいいのか乗法逆元の分母にくるやつに合わせるのがいいのか。うーん。
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